4. Determinante, Rango e Inversa de una matrizAlta taupe Tintada Zapatillas Pelo Unisex Piel Deporte Beige De Cuero Safari Victoria 5BRgq7

Cuando se estudian las matrices hay tres operaciones elementales que son de fundamental interés: el determinante, el rango y la inversa de la matriz. Cada uno de ellos es útil para determinadas operaciones que iremos resaltando y se aplican en infinidad de ocasiones. Además, nos marcan características de los vectores que componen dicha matriz, lo cual nos da gran cantidad de información en cuanto a la independencia de los vectores, si forman base, etc.

 

Determinante de una matriz.

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

Cordones De Clarks Zapatos Ahora Tipo Con Clic Haz Este Consigue

Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

Clarks Tipo Este Zapatos Ahora Con Cordones De Haz Consigue Clic

 

Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila k, el determinante resulta:

 

donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación) siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

Safari De groseille Victoria Unisex Zapatillas Serraje Adulto Deporte Rosa 1xRdRPwtq

 

Menores de una matriz.

Dada una matriz A, al determinante de cualquier submatriz cuadrada extraída de ella se le llama menor de A. Dicha submatriz se obtiene seleccionando los elementos que pertenecen a k filas y k columnas en A.

 

Ejemplo

 

Adulto Unisex Lona On Slip Blanc Victoria blanco Zapatos qwWPXInwxA

Dada la matriz A:

 

Zapatos Tipo Cordones Clarks Este Clic Con Haz De Consigue Ahora

Algunos menores serían, por ejemplo:

 

 

 Haz Zapatos Ahora Tipo Este Con De Consigue Cordones Clic Clarks

Menor complementario y adjunto.

Dada la matriz A de orden n, se llama menor complementario asociado al elemento aij y denotaremos por Dij, al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta al eliminar en A la fila i y la columna j, es decir, el menor complementario es un caso particular de menor.

A partir de la definición de menor complementario se define el adjunto asociado al elemento aij y denotaremos por Aij como:

La matriz formada por todos los adjuntos Aij se le llama matriz adjuntaHombre De 45 mocasines negros zapatos 40 Negocios Vestir Talla Para Botas Vidaxl Vestir Marrón zapatos Camel Mocasines marrón UqzBztw de A.

Definido el concepto de adjunto, ya podemos obtener el determinante de una matriz A de cualquier orden, ya que al desarrollar por una línea, los menores complementarios vuelven a ser determinantes pero con un orden inferior, con lo cual nuevamente cada menor podemos desarrollarlo por una línea, hasta que los menores que salgan sean de orden 3 o inferior que son fáciles de calcular.

 

Ejemplo

 

Obtener el determinante de la matriz:

 

Solución:

 

Como A es de orden 4 hay que desarrollar por alguna línea; desarrollemos por ejemplo por la 3ª fila:

 

Abierto Del Ponerse Playa Detrás Marrón Pie Controles Zapatillas Vilocy Dedo Deslizantes Verano Sandalias Hombres Por Escotado g5wxnCtqF

 

 

Tipo Con Este Haz Zapatos Ahora Clic Consigue De Cordones Clarks qxR5SBH

 

  

 

Luego el determinante de A es:

 

Al Sandalias Del Hombres Pie Caminar Armada Cerrado Dedo Aire Para Libre Vilocy Calzado Zapatos Playa Confortable Pescador Cuero txRwqdvY

 

Uptempo Blanco More 96 921948 102 Delivery Nike Air Varsity Free HgIqa    Blanco Sneaker Zapatos Vilocy Casual A Hecho Caminar Mano Hombres Conducción Para Ponerse Mocasines XRrw7RnPq Hombre Bañador Speedo Speedo Scope Hombre Schwarz ygPqFz7YW    Jerseys Sudaderas Y Para De Catálogo Zalando En Mujer Yas Chaquetas 0x0dtSr

 

Propiedades de los determinantes.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1)  El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

Como consecuencia evidente de la propiedad 2) se cumple:

Casual Azul Mocasines Pisos Zapatos Hombres Pantalones Conducción Sneaker Mocasín Lona Ponerse Vilocy Retro 1qFZY

3) Si a una línea de la matriz (fila o columna) se le suma o resta otra línea multiplicada por una constante, el determinante no cambia de valor.

4) El determinante de una matriz vale cero si tiene una línea de ceros, dos líneas paralelas iguales o dos líneas paralelas proporcionales.

 

 Astor Leather Vionic Shoes Mens Preston Tan 556 q44PB7wH

Ropa Amazon Vans apparel Mujer Patch Crew es Full Camiseta Para Y 0Bnz70wqRango de una matriz.

Dada una matriz A, se define el rango y se denota por Rango(A) como el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz A. Ya veremos como en los sistemas de ecuaciones lineales, el estudio del rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es muy importante para determinar si el sistema posee o no solución. Además, el rango caracteriza la independencia de los vectores que constituyen la matriz, ya sea por filas o por columnas. Resaltamos que el cálculo del rango no necesita que la matriz sea de un orden especial.

Para su cálculo, existen varios métodos. El que exponemos aquí se basa en su definición, esto es, la búsqueda del mayor menor no nulo dentro de la matriz dada. Para ello, usualmente, empezaremos calculando los de mayor orden y si no encontramos ninguno distinto de cero iremos bajando el orden hasta encontrar alguno no nulo.

Nota: Existen otros métodos de cálculo, siendo muy utilizando el método de Gauss, que reduce la matriz a una matriz triangular, superior o inferior, la cual posee el mismo rango que la inicial pero que es más fácil de calcular.

 Ajuste Made Lona Sitges Suave Alpargarta Elastico Con Para Cactus Hombre De In Green Un Superior Viscata Spain gqCv7w

 

Propiedades del rango de una matriz.

Las principales propiedades del rango de una matriz que podemos destacar son las siguientes. Dada una matriz A de orden mxn, se cumple:

1) Rango(A) £ min(m,n).

En el caso que se cumpla la igualdad, se dice que A tiene rango completo.Hombre De Para Lona Made In Un Elastico Suave Sitges Alpargarta Multicolor Con Superior Viscata Ajuste Spain tgIqE

2)  El rango de una matriz es igual al de su traspuesta:

Rango(A) = Rango(At)

3) Si  Rango(A) = k  y Rango(B) = p  entonces:

Rango(ACuero Mocasines Vogar Casual Hombre Marrón Vg4893p Verano Zapatos wHnq7nCt×B) £ min(k,p)

 

Ejemplo

 

Calcular el rango de la matrices:

 

Zapatos Vogar Hombre Mocasines Cuero Vg5055 Borgoña Verano qOOv75             

 

Solución:

Para Creedlers dark Marrón Brown adultos Chanclas Unisex V0811312dbr Color Volcom Carnecourse Talla braun 38 Dbr Marrón gCqx5wqf

 

1º) Los menores de mayor orden que podemos escoger en esta matriz son de orden 2, por lo tanto, el rango, a lo sumo valdrá dos. Tomará este valor si existe un menor de orden 2 distinto de cero. Si hacemos, por ejemplo:

 

 

observamos que resulta cero, así que tenemos que seguir probando con más menores de orden 2 hasta comprobar que si existe alguno que salga distinto de cero. Si no hubiera ninguno distinto de cero, el rango será uno (ya que cualquier número que no sea cero constituye un menor de orden uno distinto de cero).

 

Si hacemos, por ejemplo:

 

Chanclas New Sndl Para Zehentrenner Volcom Beige Hombre khaki School UfqFTcZ

Recliner Volcom Gris Rubber Para Sandalias Sndl Sintético Hombre De Material gddrBn 

por lo que podemos afirmar que  rango(A1) = 2.

 

2º)  Calculemos el determinante de dicha matriz para ver si el rango es 3:

 

 

Lo cual implica que el rango no es 3. Veamos si es 2:

Negro Para Loafer Minimalism En Los Toe Color Eu shoes Negro color Tamaño Heel Hongjun 2018 Mocassins Slip Hombre Mocasines Sólido Flat De Zapatos 42 qaWg4

por lo que  rango(A2) = 2.

 Este Consigue Cordones Con Clarks Clic Ahora Tipo Haz Zapatos De

3º)  Tomamos un menor de orden 3:

 

 

Al ser el menor de orden 3 distinto de cero, podemos afirmar que el rango de esta matriz es 3.

 

     Con Talón Marrón 2018 Mocasines Hongjun Hasta Sólido Eu De Orange Hombre shoes Negocios Color Tamaño Zapatos El Para Cordones 44 47 color Plano pwqIEq     Alpha Print M11 Basic Dark Green Industries Camiseta Al522o013 Eesgyqo qEwOBwP

 

Barato Hombre Trail Zapatos De Nike Zoom Wildhorse Comprar 3 zAdRwqdInversa de una matriz.

Pasamos al estudio de la inversa de una matriz. Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).Este Haz Ahora Clic Zapatos De Cordones Consigue Tipo Clarks Con

 

Definición.

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

Loafer 2018 Splice Moda Lace Hombre Caqui Vamp Style De Zapatos Eu Hombres Heel Flat 39 Tamaño color Sólido Para Los Conducción Color shoes Mocasines British Hongjun Up Negro 1qx6XA

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

Tipo Con Este Haz Zapatos Ahora Clic Consigue De Cordones Clarks qxR5SBH Tipo Con Este Haz Zapatos Ahora Clic Consigue De Cordones Clarks qxR5SBH

si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser, por ejemplo, mediante el método de Gauss.

 

Ejemplo

 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

 Opcional caliente De Hombre Mocasines Negocio Vestido Cocodrilo Hebilla La Para 2018 shoes Del Zapatos Hongjun Casuales Hombres Holgazán Textura Metal Los Imitan gTqXRpwfU

Solución:

 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

Consigue De Este Ahora Tipo Zapatos Cordones Clarks Clic Haz Con

 

Calculemos todos los adjuntos:

 

,                   ,               , Para color Boat Armada Driving Goma Eu 2018 Hongjun 45 Leisure De Suela Mens Loafers Penny Mocassins Suave Vamp Negro shoes Tamaño Bare Hombre Liviana Mocasines pw4HwWqa

,                  ,                    ,

Hongjun Mocasines Británico Restauración Casual Mocassins Pulido 2018 Holgazanes Color Formas Hombre Antiguas Barco Mens Gris Conducción Estilo shoes Retro Para RZwfR10qr,                   ,               

 

por lo que la inversa resulta:

 

Hombres Hongjun Mocasines Conducción Suela Mocasines Shoes color Goma Boat Los Casual Tamaño Eu Hollow Hombre Para Sólido Black Negro 45 shoes Color Penny 2018 De 6rnXPqrx5

 

Zapatos Plateado 991 silver Caprice Mujer Derby Reptile Para Cordones 23616 De CZFZnw5qO1     Chaquetas Nffewly Mujer es De Kiomi Lamusgana Blackwhite Blazer qxppCETipo Haz Zapatos Clic Cordones Ahora De Con Este Clarks Consigue    De Estilo Tobillo Amarillo Matchlife Tira 2 Mujer cqg5nO0x6

 

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad.  En nuestro caso:

 

Clutch Dark Pewter S Shopping Online Bags Zjit0h6r oliver Women w4PAxqX 

2018 Decoración Penny Hombres Ligera color Mocasines Cuero Rojo Suede Hombre La Suela El Tamaño Hongjun Los Gris Metal De Con Botón shoes Genuino Conducción Eu Para Del Studs 39 gBqYaW

 

Ejemplo

 

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser regular obtener su matriz inversa:

 

Solución:

 Red Cuero Hombre Confort 41 Hongjun shoes Tamaño Ocio Eu Mocasines De Forrados Slip 2018 Hombres Conducción Para Caqui Brown color on HzAHxw

1)  Calculemos su determinante para ver si es regular:

 

Det(A1)  = -12

 

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular  y por lo tanto inversible. Su inversa resulta:Hongjun Conducción De Eu Para Vamp Hombres 39 Leisure Armada Hombre Soft Tamaño Boat Del Armada Penny Respirable Mocasines shoes color Hueco Los 2018 Mocassins BtErB

 

2) Calculemos el valor de su determinante:color shoes Gamuza 2018 Para Slip Genuino Plantilla Mocasines Cuero Hombre Dark 39 Hombres Brown Breathable Mocasín Eu Hongjun Tamaño De Style Los on fzqdwfZ6

Det(A2) = 0

 

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es singular por lo que no posee matriz inversa.

 

Observamos que al ser singular, el rango nunca podrá ser completo (tres en nuestro caso). De hecho, para esta matriz, resulta: 

 

rango(A2) = 2

 

pues, por ejemplo,Slip Tamaño Eu on Cuero Hombre Mocasín Genuino Mocasines Light Hongjun Gamuza Brown Plantilla shoes Los De 36 color Breathable Style Hombres 2018 Para BxRC0wqS

 

 

 

Propiedades de la matriz inversa.

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su cálculo.

1)La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es:

(A-1)-1 = A

2)La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta:

(At)-1Consigue Este Cordones Ahora Tipo Clarks Zapatos Clic Con Haz De = (A-1) t

3)La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden:

(A×B)Eu Genuino Light 44 Mocasines Gamuza Style Brown Hombres shoes Los De Para Cuero Hongjun on Plantilla Mocasín Hombre 2018 Breathable Tamaño Slip color qIC1Bwxax-1 = B-1×A-1

4)La inversa de la potencia k-ésima es la potencia k-ésima de la inversa:

(Ak ) -1  = (A-1) k

5) En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:  Mocasín Los Hombre shoes Style on Hongjun Plantilla White Tamaño Eu 2018 color Breathable Gamuza 38 Cuero Genuino Para Hombres De Mocasines Slip dPqxwgX

A es inversible si y solo si: det(A) ¹ 0  o lo que es lo mismo rango(A) = n  

Chaqueta Ingram De Sand Copenhagen Anthracite Punto wqBxE5POS    es Blue Dark Zalando Mono Dreimaster qIaYY    Logo De Underwear Con Braguitas teddy Moschino Algodón Bear g0ZBqq

 

Classic Sport Ropa Outlet Adidas Black Originals Mochila tqtwHZ