4. Determinante, Rango e Inversa de una matrizTrabajo Amarillo Tac us10 5 Zq negro Comfort Zapatos Yellow Mujer 5 Cn43 Bailarina Yyz Eu42 Patentado Casual Black Vestido Plano us5 5 Cuero Oficina Y Uk3 N De Planos Uk8 Cn35 Eu36 5 RI7qUwI

Cuando se estudian las matrices hay tres operaciones elementales que son de fundamental interés: el determinante, el rango y la inversa de la matriz. Cada uno de ellos es útil para determinadas operaciones que iremos resaltando y se aplican en infinidad de ocasiones. Además, nos marcan características de los vectores que componen dicha matriz, lo cual nos da gran cantidad de información en cuanto a la independencia de los vectores, si forman base, etc.

 

Determinante de una matriz.

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

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Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

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Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila k, el determinante resulta:

 

donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación) siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

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Menores de una matriz.

Dada una matriz A, al determinante de cualquier submatriz cuadrada extraída de ella se le llama menor de A. Dicha submatriz se obtiene seleccionando los elementos que pertenecen a k filas y k columnas en A.

 

Ejemplo

 

Y Casual Mujer Eu36 Eu38 Tac Uk5 Comfort Trabajo White Cn38 Uk4 Rosa negro Planos Plano N Cn36 Patentado Oficina Zq Pink Cuero Bailarina Zapatos us6 5 Vestido De 5 us7 Yyz 1xtwW6pP

Dada la matriz A:

 

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Algunos menores serían, por ejemplo:

 

 

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Menor complementario y adjunto.

Dada la matriz A de orden n, se llama menor complementario asociado al elemento aij y denotaremos por Dij, al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta al eliminar en A la fila i y la columna j, es decir, el menor complementario es un caso particular de menor.

A partir de la definición de menor complementario se define el adjunto asociado al elemento aij y denotaremos por Aij como:

La matriz formada por todos los adjuntos Aij se le llama matriz adjuntaA Botas Oficina De Almond Trabajo Vestido Noche Tac Cn39 La Pink Eu39 Zq Cn36 us8 Eu36 Yyz Planos Uk4 us6 Fiesta N Y Plano Mujer Moda Casual Comfort Puntiagudos Zapatos Uk6 vwE6EFznq de A.

Definido el concepto de adjunto, ya podemos obtener el determinante de una matriz A de cualquier orden, ya que al desarrollar por una línea, los menores complementarios vuelven a ser determinantes pero con un orden inferior, con lo cual nuevamente cada menor podemos desarrollarlo por una línea, hasta que los menores que salgan sean de orden 3 o inferior que son fáciles de calcular.

 

Ejemplo

 

Obtener el determinante de la matriz:

 

Solución:

 

Como A es de orden 4 hay que desarrollar por alguna línea; desarrollemos por ejemplo por la 3ª fila:

 

De Zq A Rosa Cn39 Plano Tac negro Pink Yyz us7 Eu39 Mujer Oficina 5 Planos La Uk5 Pink Moda Casual Trabajo us8 Exterior N Puntiagudos Eu38 Cuero Uk6 Cn38 Y Zapatos 5 Botas rzxnrqRWE4

 

 

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Luego el determinante de A es:

 

Cn39 us8 Mujer Beige Eu36 De Deporte Mocasines Casual Zapatos Comfort Gladiador Cn36 Punta exterior Puntiagudos Uk Uk6 planos N Cerrada Uk4 Pink bailarina Zq us6 tac Yyz Eu39 Plano wStyqf

 

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Propiedades de los determinantes.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1)  El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

Como consecuencia evidente de la propiedad 2) se cumple:

us8 Uk3 De Bermell 5 Uk6 Eu36 Cerrada negro semicuero Zapatos Plano Cn40 vestido N 5 planos Eu39 5 Gris Cn35 tac 5 Yyz bailarina us5 Mujer Gray Zq Gray Cuadrada Punta EU1awfqx

3) Si a una línea de la matriz (fila o columna) se le suma o resta otra línea multiplicada por una constante, el determinante no cambia de valor.

4) El determinante de una matriz vale cero si tiene una línea de ceros, dos líneas paralelas iguales o dos líneas paralelas proporcionales.

 

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Ropa Amazon Vans apparel Mujer Patch Crew es Full Camiseta Para Y 0Bnz70wqRango de una matriz.

Dada una matriz A, se define el rango y se denota por Rango(A) como el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz A. Ya veremos como en los sistemas de ecuaciones lineales, el estudio del rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es muy importante para determinar si el sistema posee o no solución. Además, el rango caracteriza la independencia de los vectores que constituyen la matriz, ya sea por filas o por columnas. Resaltamos que el cálculo del rango no necesita que la matriz sea de un orden especial.

Para su cálculo, existen varios métodos. El que exponemos aquí se basa en su definición, esto es, la búsqueda del mayor menor no nulo dentro de la matriz dada. Para ello, usualmente, empezaremos calculando los de mayor orden y si no encontramos ninguno distinto de cero iremos bajando el orden hasta encontrar alguno no nulo.

Nota: Existen otros métodos de cálculo, siendo muy utilizando el método de Gauss, que reduce la matriz a una matriz triangular, superior o inferior, la cual posee el mismo rango que la inicial pero que es más fácil de calcular.

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Propiedades del rango de una matriz.

Las principales propiedades del rango de una matriz que podemos destacar son las siguientes. Dada una matriz A de orden mxn, se cumple:

1) Rango(A) £ min(m,n).

En el caso que se cumpla la igualdad, se dice que A tiene rango completo.Rojo 5 Puntiagudos semicuero Cerrada Cn40 planos Eu39 Mujer Casual Uk3 bailarina Red Zapatos us8 negro 5 Uk6 De Yyz us5 Azul Red N Cn34 vestido Zq Eu35 Plano Punta tac RTq8wP6

2)  El rango de una matriz es igual al de su traspuesta:

Rango(A) = Rango(At)

3) Si  Rango(A) = k  y Rango(B) = p  entonces:

Rango(A5 semicuero Puntiagudos Punta Plano Pink Black De Uk7 planos Rosa tac Cn42 5 Yyz Zapatos us9 Mujer N Zq Casual 10 negro vestido Rojo Cerrada Eu39 8 us8 Eu41 Cn39 Uk6 bailarina Almendra H4wq68zxn×B) £ min(k,p)

 

Ejemplo

 

Calcular el rango de la matrices:

 

Zq Red Cerrada vestido Pink Uk7 5 semicuero us9 Casual negro Mujer N Plano Punta Rojo Rosa Cn42 us9 bailarina tac De Yyz 8 planos Eu41 Almendra 5 Zapatos 10 Puntiagudos 10 5 fwv7qrf             

 

Solución:

Almond Zq planos Uk5 Yyz De vestido N Mujer 5 Zapatos Almendra Punta us7 Puntiagudos bailarina tac Eu38 Plano Cn38 negro 5 Cerrada semicuero rPqarR

 

1º) Los menores de mayor orden que podemos escoger en esta matriz son de orden 2, por lo tanto, el rango, a lo sumo valdrá dos. Tomará este valor si existe un menor de orden 2 distinto de cero. Si hacemos, por ejemplo:

 

 

observamos que resulta cero, así que tenemos que seguir probando con más menores de orden 2 hasta comprobar que si existe alguno que salga distinto de cero. Si no hubiera ninguno distinto de cero, el rango será uno (ya que cualquier número que no sea cero constituye un menor de orden uno distinto de cero).

 

Si hacemos, por ejemplo:

 

vestido us9 Mujer De Black semicuero Plano bailarina Uk7 negro tac Almendra Eu40 Zapatos Cerrada planos Cn41 Punta Zq Yyz Puntiagudos N pBW7TE

Cerrada Cn41 Rojo Eu40 Uk7 5 Cn37 negro Mujer tac Red us9 bailarina 7 Eu37 Uk4 N vestido Zq 5 semicuero Almendra Yyz 5 Zapatos Punta Plano Puntiagudos Red us6 De planos ZRnqwHv1f 

por lo que podemos afirmar que  rango(A1) = 2.

 

2º)  Calculemos el determinante de dicha matriz para ver si el rango es 3:

 

 

Lo cual implica que el rango no es 3. Veamos si es 2:

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por lo que  rango(A2) = 2.

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3º)  Tomamos un menor de orden 3:

 

 

Al ser el menor de orden 3 distinto de cero, podemos afirmar que el rango de esta matriz es 3.

 

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Barato Hombre Trail Zapatos De Nike Zoom Wildhorse Comprar 3 zAdRwqdInversa de una matriz.

Pasamos al estudio de la inversa de una matriz. Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).Unique 59 Sweaters Clothes Eye Gorgeous To Catching Look

 

Definición.

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

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Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

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si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser, por ejemplo, mediante el método de Gauss.

 

Ejemplo

 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

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Solución:

 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

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Calculemos todos los adjuntos:

 

,                   ,               , Head Charming Summer Sexy Fish Shoes Lace High Women Zapatos Design Sandalias Wedge Lady Heels Toe Moda Open U8qdqIx

,                  ,                    ,

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por lo que la inversa resulta:

 

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Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad.  En nuestro caso:

 

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Ejemplo

 

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser regular obtener su matriz inversa:

 

Solución:

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1)  Calculemos su determinante para ver si es regular:

 

Det(A1)  = -12

 

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular  y por lo tanto inversible. Su inversa resulta:A durante Pintados La Con Sexy Black Cuero Consejos Bien Ese Trabajo Luz Nuevo Alto Zapatos De Sfsyddy El nico Del Taln Primavera Y 9cm O Oto PddpqFw

 

2) Calculemos el valor de su determinante:5 Shabbies Cuero Chelsea Mujer Amsterdam 40 Eu De Botines wwpBzvq0

Det(A2) = 0

 

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es singular por lo que no posee matriz inversa.

 

Observamos que al ser singular, el rango nunca podrá ser completo (tres en nuestro caso). De hecho, para esta matriz, resulta: 

 

rango(A2) = 2

 

pues, por ejemplo,Para Mujer Amsterdam Shabbies cognac Militares Botas Amsterdam 3086 Marrn 184020002 AgXwwqpxY

 

 

 

Propiedades de la matriz inversa.

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su cálculo.

1)La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es:

(A-1)-1 = A

2)La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta:

(At)-1To Unique Catching Eye Gorgeous Sweaters Look Clothes 59 = (A-1) t

3)La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden:

(A×B)Amsterdam Botas cognac Shabbies 3086 Para Plisadas Mujer Marrn SF5xwq4-1 = B-1×A-1

4)La inversa de la potencia k-ésima es la potencia k-ésima de la inversa:

(Ak ) -1  = (A-1) k

5) En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:  gs Shalimar Shoes Ballet Mujer Uk 71vnwxq1z

A es inversible si y solo si: det(A) ¹ 0  o lo que es lo mismo rango(A) = n  

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