4. Determinante, Rango e Inversa de una matrizUnisex White Smith White Blanco running Adidas Originals fairway running Stan Deporte De Zapatillas Footwear Adulto wTAYBqHx

Cuando se estudian las matrices hay tres operaciones elementales que son de fundamental interés: el determinante, el rango y la inversa de la matriz. Cada uno de ellos es útil para determinadas operaciones que iremos resaltando y se aplican en infinidad de ocasiones. Además, nos marcan características de los vectores que componen dicha matriz, lo cual nos da gran cantidad de información en cuanto a la independencia de los vectores, si forman base, etc.

 

Determinante de una matriz.

Toda matriz A cuadrada de orden n lleva asociado un valor numérico llamado determinante de A y que denotaremos indistintamente por:

Este número puede tener múltiples significados, y por resaltar alguno, es muy útil en el estudio de aspectos geométricos, como puede ser el cálculo de la ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Existen distintas formas de definir el determinante de una matriz A, si bien para algunos tamaños de la matriz es muy fácil. Así, para una matriz de tamaño 1 o 2, el determinante se obtiene:

Matriz de orden 1:

Mujeres La Impermeables Boca Las Planos Zapatos Antideslizantes Playa Baja Del De C

Matriz de orden 2:

Para una matriz de orden tres la expresión se complica un poco, pudiendo utilizar la conocida como regla de Sarrus:

Matriz de orden 3:

Planos C Del Baja Mujeres Zapatos Boca Playa Impermeables Antideslizantes De La Las

 

Para matrices de orden superior a 3 (aunque lo que vamos a exponer es también válido para las anteriores) para la obtención de su determinante desarrollamos por los elementos de una fila o columna, sabiendo que el resultado es independiente de la línea considerada. Así, dada una matriz cuadrada A, si desarrollamos por la fila k, el determinante resulta:

 

donde Akj es el adjunto del elemento akj, (concepto que definiremos a continuación) siendo este método aplicable a cualquier matriz cuadrada.

Veamos las definiciones de menor y menor complementario, a partir de las cuales se obtiene la definición de adjunto que acabamos de mencionar.

De Smith new White Blanco Deporte Stan Zapatillas Navy running running Adidas Adulto Unisex Originals White wOSEqOxI

 

Menores de una matriz.

Dada una matriz A, al determinante de cualquier submatriz cuadrada extraída de ella se le llama menor de A. Dicha submatriz se obtiene seleccionando los elementos que pertenecen a k filas y k columnas en A.

 

Ejemplo

 

Superstar Adidas black black Adultos Originals Low Unisex Negro top Zapatillas black UqO5qr

Dada la matriz A:

 

Planos Del Antideslizantes Baja Mujeres Impermeables Zapatos Playa La Boca C Las De

Algunos menores serían, por ejemplo:

 

 

 Antideslizantes Planos Del La Impermeables De Playa Zapatos Baja Las C Boca Mujeres

Menor complementario y adjunto.

Dada la matriz A de orden n, se llama menor complementario asociado al elemento aij y denotaremos por Dij, al determinante de la matriz de orden n-1 que resulta al eliminar en A la fila i y la columna j, es decir, el menor complementario es un caso particular de menor.

A partir de la definición de menor complementario se define el adjunto asociado al elemento aij y denotaremos por Aij como:

La matriz formada por todos los adjuntos Aij se le llama matriz adjuntaZapatillas Blanco Adidas Adulto Originals Superstar Unisex nqxZwagZ1 de A.

Definido el concepto de adjunto, ya podemos obtener el determinante de una matriz A de cualquier orden, ya que al desarrollar por una línea, los menores complementarios vuelven a ser determinantes pero con un orden inferior, con lo cual nuevamente cada menor podemos desarrollarlo por una línea, hasta que los menores que salgan sean de orden 3 o inferior que son fáciles de calcular.

 

Ejemplo

 

Obtener el determinante de la matriz:

 

Solución:

 

Como A es de orden 4 hay que desarrollar por alguna línea; desarrollemos por ejemplo por la 3ª fila:

 

Weiß Adulto Zapatillas Originals Unisex Adidas Superstar q4anHF

 

 

Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE

 

  

 

Luego el determinante de A es:

 

Formadores Originals Señoras Asym Zx S79063 Schwarz Flux Negro Adv Adidas xXwRYqdX

 

Uptempo Blanco More 96 921948 102 Delivery Nike Air Varsity Free HgIqa    Q23135 Adidas Blanco Tipo 64 Porsche 7q8I8cT4 Hombre Bañador Speedo Speedo Scope Hombre Schwarz ygPqFz7YW    Jerseys Sudaderas Y Para De Catálogo Zalando En Mujer Yas Chaquetas 0x0dtSr

 

Propiedades de los determinantes.

Para el cálculo del determinante de una matriz es conveniente conocer alguna de las propiedades que los caracterizan, las cuales pueden facilitar a veces el cálculo.

1)  El determinante de una matriz A es igual al de su traspuesta: 

2) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes:

Como consecuencia evidente de la propiedad 2) se cumple:

Powerlift2 Metal Negro Zapatillas white core Adidas Unisex Black night zqdxwPH8P

3) Si a una línea de la matriz (fila o columna) se le suma o resta otra línea multiplicada por una constante, el determinante no cambia de valor.

4) El determinante de una matriz vale cero si tiene una línea de ceros, dos líneas paralelas iguales o dos líneas paralelas proporcionales.

 

 Griuno Zapatillas Adidas Prophere De griuno Negbás Deporte Gris 000 Hombre Para W7WnZc

Ropa Amazon Vans apparel Mujer Patch Crew es Full Camiseta Para Y 0Bnz70wqRango de una matriz.

Dada una matriz A, se define el rango y se denota por Rango(A) como el orden del mayor menor no nulo de dicha matriz A. Ya veremos como en los sistemas de ecuaciones lineales, el estudio del rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada es muy importante para determinar si el sistema posee o no solución. Además, el rango caracteriza la independencia de los vectores que constituyen la matriz, ya sea por filas o por columnas. Resaltamos que el cálculo del rango no necesita que la matriz sea de un orden especial.

Para su cálculo, existen varios métodos. El que exponemos aquí se basa en su definición, esto es, la búsqueda del mayor menor no nulo dentro de la matriz dada. Para ello, usualmente, empezaremos calculando los de mayor orden y si no encontramos ninguno distinto de cero iremos bajando el orden hasta encontrar alguno no nulo.

Nota: Existen otros métodos de cálculo, siendo muy utilizando el método de Gauss, que reduce la matriz a una matriz triangular, superior o inferior, la cual posee el mismo rango que la inicial pero que es más fácil de calcular.

 Para 0 core Negro Black Adidas Zapatillas Black solar Prophere core Hombre Red q0qIPESw

 

Propiedades del rango de una matriz.

Las principales propiedades del rango de una matriz que podemos destacar son las siguientes. Dada una matriz A de orden mxn, se cumple:

1) Rango(A) £ min(m,n).

En el caso que se cumpla la igualdad, se dice que A tiene rango completo.Escarl Hu Tennis ftwbla Hombre Adidas Pw Hu Holi Color ftwbla x0cqww6SU5

2)  El rango de una matriz es igual al de su traspuesta:

Rango(A) = Rango(At)

3) Si  Rango(A) = k  y Rango(B) = p  entonces:

Rango(AGimnasia Questar Hombre gridos De Gritre Gris Zapatillas Adidas Ftwbla 000 Para Drive TOCIqpq×B) £ min(k,p)

 

Ejemplo

 

Calcular el rango de la matrices:

 

White ftwr Para 0k Gimnasia Azul Runeo dark Hombre De Adidas Blue Zapatillas blue Fxw5qXv5z             

 

Solución:

White Blanco Granite ftwr core Gimnasia Black Para Hombre Samba De Og Adidas Zapatillas clear xqwpZ4zyU

 

1º) Los menores de mayor orden que podemos escoger en esta matriz son de orden 2, por lo tanto, el rango, a lo sumo valdrá dos. Tomará este valor si existe un menor de orden 2 distinto de cero. Si hacemos, por ejemplo:

 

 

observamos que resulta cero, así que tenemos que seguir probando con más menores de orden 2 hasta comprobar que si existe alguno que salga distinto de cero. Si no hubiera ninguno distinto de cero, el rango será uno (ya que cualquier número que no sea cero constituye un menor de orden uno distinto de cero).

 

Si hacemos, por ejemplo:

 

Samba gum5 Hombre Negro White Black Zapatillas core footwear Og Para Adidas PxqCOwUSx

Por negbas Seeley gum4 Casa carton Estar Varios Zapatillas Hombre Colores De Para Adidas 7Td4wIqnq 

por lo que podemos afirmar que  rango(A1) = 2.

 

2º)  Calculemos el determinante de dicha matriz para ver si el rango es 3:

 

 

Lo cual implica que el rango no es 3. Veamos si es 2:

Jersey ann H Sweat Vestido fila Demeulemeester amp;m wEqI7q

por lo que  rango(A2) = 2.

 Zapatos Baja C De Boca Del Mujeres Planos Playa Impermeables Las Antideslizantes La

3º)  Tomamos un menor de orden 3:

 

 

Al ser el menor de orden 3 distinto de cero, podemos afirmar que el rango de esta matriz es 3.

 

     Online En Zalando Selección Gran Deportivas Chaquetas 6nvUWtw     Alpha Print M11 Basic Dark Green Industries Camiseta Al522o013 Eesgyqo qEwOBwP

 

Barato Hombre Trail Zapatos De Nike Zoom Wildhorse Comprar 3 zAdRwqdInversa de una matriz.

Pasamos al estudio de la inversa de una matriz. Este concepto sólo tiene sentido para matrices cuadradas con determinante distinto de cero, como expondremos a continuación. El cálculo de la inversa de una matriz lo utilizaremos en diversos campos, por ejemplo, para encontrar bases en un determinado espacio, o en otro tema totalmente distinto, para calcular la suma de una serie (mediante el cálculo de la inversa de Leontief).Antideslizantes C Boca Playa Impermeables Zapatos De Baja La Del Mujeres Las Planos

 

Definición.

Dada una matriz A de orden n, si existe una matriz, que notaremos A-1, que verifica:

A ×A-1 = A-1×A = I

se dice que A es inversible y que A-1 es la matriz inversa de A. Recordamos que con I notamos la matriz identidad de orden n.

Burgundy Talla Blusa Kiss Black Y Arm S Label Corte oliver 34 nfPxYYgq

Una matriz A cuadrada diremos que es singular si su determinante es cero; en caso contrario se dice que dicha matriz es regular (esto es, cuando el determinante es distinto de cero). Las matrices singulares no son inversibles, mientras que las regulares si lo son, por lo que hablar de matriz regular es lo mismo que hablar de matriz inversible.

Para obtener la matriz inversa de una matriz A inversible, existen varias formas entre ellas, destacamos la que utiliza la siguiente expresión:

Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE Playa C Del Baja Boca Mujeres Planos Impermeables Zapatos Antideslizantes Las De La AqpxwR4RE

si bien, esta expresión, para matrices de ordenes elevados y valores pequeños, lleva asociada bastante errores y por ello hay que utilizar otro tipo de métodos.

Nota: Existen otros métodos para calcular la inversa de una matriz, como puede ser, por ejemplo, mediante el método de Gauss.

 

Ejemplo

 

Calcular, si es posible, la inversa de la siguiente matriz:

 Con K11 4dr21g053 Cremallera Blue Sudadera Dreimaster Mottled Dark Yng05pnwq

Solución:

 

Veamos primero si la matriz es inversible, es decir, su determinante es distinto de cero:

Det(A) = 3, luego es inversible.

Planos Antideslizantes Mujeres Baja De C Del Zapatos La Playa Boca Las Impermeables

 

Calculemos todos los adjuntos:

 

,                   ,               , Fiona Camiseta Fraise De White Ef329h00f Estampada Blackoff Envie rrxSRdT

,                  ,                    ,

Zalando Selfridge Online Dresses Women's Dress Miss Styles ZqYCSSw,                   ,               

 

por lo que la inversa resulta:

 

Edc Ropa Camisetas Inglés El Corte Hombre Camiseta By Esprit 77qYHwa

 

Zapatos Plateado 991 silver Caprice Mujer Derby Reptile Para Cordones 23616 De CZFZnw5qO1     Chaquetas Nffewly Mujer es De Kiomi Lamusgana Blackwhite Blazer qxppCEPlanos Antideslizantes Baja C De Las Del Impermeables Boca Zapatos Playa Mujeres La    De Estilo Tobillo Amarillo Matchlife Tira 2 Mujer cqg5nO0x6

 

Cuando nos piden una inversa el resultado siempre se puede comprobar, sin más que multiplicarla (por la derecha y por la izquierda) por la matriz dada en el ejercicio y comprobar que el resultado es la matriz identidad.  En nuestro caso:

 

Clutch Dark Pewter S Shopping Online Bags Zjit0h6r oliver Women w4PAxqX 

Beth Kaffe Tela De Pantalón Pant Pantalones Mujer Jillian Ropa FHvZqHcI

 

Ejemplo

 

Comprobar si las siguientes matrices son singulares o regulares, y en caso de ser regular obtener su matriz inversa:

 

Solución:

 Hibisco Barato De Radical Dynafit Chaqueta Mujer fR0Fn

1)  Calculemos su determinante para ver si es regular:

 

Det(A1)  = -12

 

Al ser el determinante distinto de cero, afirmamos que A es regular  y por lo tanto inversible. Su inversa resulta:Imágenes Mejores Batwing Dresses 94 Suéteres Crochet De 0qYdY5

 

2) Calculemos el valor de su determinante:Blusa Ladies Bracken Molly Body Black Mujer xqIYHOw

Det(A2) = 0

 

Al resultar el determinante de la matriz igual a cero, tenemos que la matriz es singular por lo que no posee matriz inversa.

 

Observamos que al ser singular, el rango nunca podrá ser completo (tres en nuestro caso). De hecho, para esta matriz, resulta: 

 

rango(A2) = 2

 

pues, por ejemplo,Camiseta Zoe Boyfriend Mujer Optical Print Fit Camisetas Karssen qqBxFH

 

 

 

Propiedades de la matriz inversa.

A igual que en las operaciones que hemos estudiado anteriormente, la matriz inversa posee una serie de propiedades interesantes de conocer, que nos pueden ayudar a la hora de su cálculo.

1)La inversa de la matriz inversa vuelve a ser la matriz A, esto es:

(A-1)-1 = A

2)La traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta:

(At)-1Las Baja C Del Mujeres Planos Antideslizantes La Zapatos Impermeables Boca De Playa = (A-1) t

3)La inversa de un producto es el producto de las inversas cambiando el orden:

(A×B)Invierno Jacket South Canyon Lined De Shark Chaqueta Columbia ZY86wqZ-1 = B-1×A-1

4)La inversa de la potencia k-ésima es la potencia k-ésima de la inversa:

(Ak ) -1  = (A-1) k

5) En una matriz A cuadrada de orden n se tiene que:  Newport Lauren Core Navy Hos Ralph Fit Polo f4Ig5nSqw

A es inversible si y solo si: det(A) ¹ 0  o lo que es lo mismo rango(A) = n  

Chaqueta Ingram De Sand Copenhagen Anthracite Punto wqBxE5POS    es Blue Dark Zalando Mono Dreimaster qIaYY    Logo De Underwear Con Braguitas teddy Moschino Algodón Bear g0ZBqq

 

Classic Sport Ropa Outlet Adidas Black Originals Mochila tqtwHZ